LED模拟效率改善新方法：二维径向简化

        本文利用RSoft之FullWAVE与LEDs Utility仿真不同结构的发光二极管(Light EmittingDiodes, LEDs)之发光效率，并比较二维模拟与三维模拟的差异性与优缺点。

        介绍

         发光二极管LED于50年前被发明时，并没有广泛应用于日常生活中。如今，藉由不断地改良与推陈出新，LED已被推广至许多常见应用上，其中更以固态照明和显示器市场最为重要。然而，即使LED在日常生活中有着无远弗届的影响力，它还是存在着一些限制与缺点。其中最值得注意的就是LED在二极管基板发出的光源很不容易被萃取至外界，也就是LED有着不高的光萃取率(Light Extraction Efficiency)。为克服这缺点，学界与业界正尝试着模拟并制作不同的表面结构来增进其光萃取率。然而，因三维结构(3D)在计算上是繁复且耗时的模拟过程，因此，新一代的二维模拟(2D)方法被用来测试立体结构的初步结果，以节省计算器资源并加速研发测试过程。

         造成LED低萃取率的主要原因为：从二极管基板产生的光在穿透外层接口时，因全反射的发生而无法全数通过该接口，造成低穿透的现象。全反射发生的原因为基板之折射率(n)与外界折射率差异甚大，造成光接触接口时，临界角内之光源被反射回基板，剩下少部分的光才得以穿透至外界。以理论值计算时，LED光萃取率限制最高为n2/4。以砷化镓LED为例，其萃取率被限制低于2%；以氮化镓LED为例，其萃取率被限制低于4%。

         为了突破这限制，不同的表面结构被研究于改善LED的光萃取率。举例来说，来自LG Innotek的S. David Roh在2012年的ACP研讨会上发表数百种表面结构对萃取率之影响的研究结果。即使大部分的研究者为了减少实际制程的花费，使用仿真软件测试LED的表面结构设计，但并非全部的研究者皆使用仿真软件来进行设计。原因也许是因为LED在模拟部分是属于非常复杂的计算，而使用者还没有找到适合且方便的软件来辅助其计算。

        其复杂的原因在于LED光源是一个在时间与空间上非同调性的光源，且没有特定偏振方向。为处理这种非同调性与非特定偏振的光源问题，时域有限差分法(Finite-Difference Time-Domain, FDTD)被用来计算每个点、每个波长与每个偏振的电磁场，并将其迭合处理成与实际光源相似之电磁场。为了处理这种复杂的光源计算，RSoft在其模拟套件FullWAVE上开发了一套LED Utility，提供使用者一个方便、快速且准确的模拟环境来进行LED的结构设计。

        然而，完整的三维模拟在计算上需耗费许多时间与内存。举例来说，利用多核心计算器来模拟一个典型的LED结构，估计需耗费数千兆位的内存与数小时的时间。除此之外，若研究者须针对不同波长、偏振与结构设计进行优化处理，则至少需要花费数天的时间来模拟。

        为了提高模拟效率和减少模拟成本，本篇文章介绍一个在2012年ACP会议上发表的简单作法：相较于传统的三维模拟，我们假设多数LED有圆对称性(circularly symmetry)，因此可以利用二维模拟来进行不同设计的成果检测，估计可以减少数千至数百倍的模拟时间。

        模拟步骤简介

        在此介绍中，我们先介绍典型的三维模拟步骤，再进而介绍简化版的二维模拟方法。在LED的激发过程中，光子因每个不同的电子电洞对的结合而产生，在相位、同调性与偏振上皆没有一定的规则。因此，LED产生的光源是空间时间非同调且非特定方向偏振的光源。在FDTD模拟中，利用Monte Carlo方法来设计非同调性的电磁场是普遍的作法，但却所费不赀。原因是在偶极矩上的相位变化速度远慢于电磁场之周期，因此需要长时间的模拟才能达成。另一个更好的方法则是结合许多不同的偶极矩来创造一个非特定偏振且非同调性的电磁场。

        所谓的「非特定方向偏振」电磁场指的是电磁场「均匀地」向四面八方偏振。为了创造出这样的电磁场光源，必须将三个互相垂直的偏振方向迭加在同一个空间，如图1。
 

         从图1上可以清楚看出在模拟每个点光源时，三种不同偏振方向的偶极矩都需要加入运算，以达到其非特定偏振的光源特性。然而，对某些LED来说，光子并不会往每个方向上辐射。以氮化镓LED为例，在晶轴方向上就不会有光子辐射出去，因此在模拟上只需要两种偏振方向的偶极矩即足够。

          在另外一方面，每个LED所产生的光子在相位上都各自独立，因此若要各别模拟的话则需要大量时间。但若是在每个偶极矩上以固定的相位差去做模拟，则无法造成在空间上非同调性的电磁光源。因此，在模拟多偶极矩的过程中，每个偶极矩皆需各别模拟，以达到非同调性的特性。

         在时间同调性方面，通常会使用同调长度(coherent length)来决定其同调性。LED光源在频谱上有着比雷射还要广的带宽，而在萃取率与辐射图案上，如图2所示，更有着频率的相关性。图2仿真着不同频率的LED光源之输出光场的不同。
 

        萃取率R跟远场的辐射函数ψ(θ,φ)可以藉由取得每个波长相关的萃取率与辐射函数后，将LED频谱加权平均而得之，如方程式(一)所示：

        其中的N代表取点总数，而平均结果如图3所示。

         如前述所提，对LED进行完整的FDTD模拟需要耗费许多计算资源，特别是在为了提升光萃取率，而针对不同的表面结构设计所做的仿真。图4即是平面(Flat)与结构(patterned)的LED针对光萃取率的比较曲线。在结构LED上，常利用光栅式结构将光导出二极管基板，提高光萃取率。从图中可看出，平面结构LED只需比较少的计算空间(domain)即可算出萃取率，而结构式LED则需较大的计算空间，意即需要更多的计算资源才能算出正确的光萃取率。

         因此，为节省模拟时间与提高效率，一个可以简化模拟过程的近似被开发出来。这个简化的近似就是二维(2D)模拟。这种将三维模拟简化至二维的近似适用于许多光学模型，而其中以LED这种具有圆对称性的模型更为适合。

         然而，如图5所示，一般的二维简化完全地改变了整个模型。该模拟中将一个常用于改进光萃取率的光子晶体结构，简化成一维的光栅结构。更重要的是，它将点光源转换成线光源。最后，该简化造成二维模拟与三维模拟有很不一样的结果。
 

         有鉴于此，二维模拟的简化需要建筑在「径向简化」上。常被使用的光子晶体表面结构，不论是六角柱或是晶格排列，都可视为圆状的布拉格光栅。布拉格光栅会在平面方向上产生一个能隙，迫使电磁场往外传递，提高光萃取率。因此，二维的径向简化模拟与实际问题较为符合，如图6所示。

         为了确认该简化假设是否能成立，三种不同的模拟方法被测试于平面结构LED之萃取率曲线。分别为：二维线坐标简化、二维径向简化与三维模拟。如图7所示，二维径向(2D Radial)的结果与三维(3D)模拟结果吻合，而二维线坐标(2D)则如前述，与实际三维结果相差甚大。

        同样的测试也用在具有表面结构的LED模型上，结果如图8所示。二维径向假设与实际的三维模拟结果相去不远，而二维线坐标假设则与另外两种差异不小，再次证明二维径向简化之可行性。

        LED光萃取率的模拟在经过二维径向简化后，其所需之计算资源大幅度减少。通常三维模拟需要几天的时间，在简化后只需要几分钟的模拟时间，并且占据更少的内存。

          本文介绍一种模拟LED非同调性与非特定偏振光源的常用偶极矩设计。另外，为了增加模拟的效率与节省模拟资源，经过二维径向简化后的模拟可以得到与三维模拟接近的结果，但却可以节省数百倍的运算时间。利用RSoft FullWAVE和LED Utility，LED工程师可快速的将新的表面结构设计利用平面仿真方法测试其光萃取率之提升。但即使二维径向简化是一个很有效率的简化，还是无法完全取代三维模拟。因此，LED工程师在使用二维径向简化模拟后，可使用RSoft LED Utility来进行最后三维结构仿真的测试，以确保其正确性。